17. (1 балл). Решите уравнение: 4cosx=4 - sin²x

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \), откуда \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \). Подставим это в уравнение:

\[ 4\cos x = 4 - (1 - \cos^2x) \]\[ 4\cos x = 4 - 1 + \cos^2x \]\[ \cos^2x - 4\cos x + 3 = 0 \]

Пусть \( y = \cos x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]

Решим его:

\[ (y-1)(y-3) = 0 \]

Возможные значения для \( y \): \( y=1 \) или \( y=3 \).

Так как \( \cos x \) может принимать значения только от -1 до 1, то \( y=3 \) нам не подходит.

Рассматриваем \( y = \cos x = 1 \).

\[ \cos x = 1 \]

Отсюда \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).