17. (1 балл). Решите уравнение: 4cosx=4-sin²x

Решение:

Перепишем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \).

\[ 4\cos x = 4 - (1 - \cos^2x) \]\[ 4\cos x = 4 - 1 + \cos^2x \]\[ 4\cos x = 3 + \cos^2x \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ \cos^2x - 4\cos x + 3 = 0 \]

Сделаем замену \( y = \cos x \). Тогда получим квадратное уравнение:

\[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]

Решим его. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). \( \sqrt{D} = 2 \).

Корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]\[ y_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).

1. \( \cos x = 3 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).

2. \( \cos x = 1 \). Решением является \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).