21. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 2, DC = 13. Площадь треугольника АВС равна 75. Найдите площадь треугольника ABD.

У треугольников ABD и ABC есть общая высота, проведенная из вершины B к основанию AC. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

• \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \]

Для треугольника ABC основание равно AC = AD + DC = 2 + 13 = 15. Площадь S_ABC = 75.

Для треугольника ABD основание равно AD = 2. Обозначим высоту из B как h.

• \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times h \]
• \[ 75 = \frac{1}{2} \times 15 \times h \]
• \[ h = \frac{75 \times 2}{15} = \frac{150}{15} = 10 \]

Теперь найдем площадь треугольника ABD:

• \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \]

Альтернативный способ:

Так как треугольники ABD и ABC имеют одинаковую высоту, отношение их площадей равно отношению их оснований:

• \[ \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} \]
• \[ \frac{S_{ABD}}{75} = \frac{2}{15} \]
• \[ S_{ABD} = \frac{2}{15} \times 75 = 2 \times 5 = 10 \]

Ответ: 10