21. (3 балла) В трёх группах 1-го курса 68 ребят. Из них 22 занимаются в драмкружке, 23 поют в хоре, 24 увлекаются спортом. В драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не увлекаются спортом, не поют в хоре, не занимаются в драмкружке?

Решение:

Используем принцип включения-исключения для нахождения количества ребят, которые занимаются хотя бы одним из видов деятельности, а затем вычтем это число из общего числа ребят.

Пусть:

• \( D \) — множество ребят, занимающихся в драмкружке, \( |D| = 22 \).
• \( H \) — множество ребят, поющих в хоре, \( |H| = 23 \).
• \( S \) — множество ребят, увлекающихся спортом, \( |S| = 24 \).
• \( |D \cap S| = 8 \) (спортсмены в драмкружке).
• \( |S \cap H| = 3 \) (спортсмены, посещающие хор).

Недостающие данные: Количество ребят, которые одновременно занимаются в драмкружке и поют в хоре (\( |D \cap H| \)), и количество ребят, занимающихся всеми тремя видами деятельности (\( |D \cap H \cap S| \)), не указаны в условии. Без этой информации точное решение невозможно.

Предположим, что в задаче подразумевается, что 3 спортсмена, посещающих хор, также занимаются в драмкружке, то есть \( |D \cap H \cap S| = 3 \).

Также предположим, что 8 спортсменов, занимающихся в драмкружке, НЕ занимаются хором.

Однако, стандартная постановка задачи с тремя множествами требует указания всех попарных пересечений и тройного пересечения.

Если предположить, что 3 спортсмена занимаются в драмкружке и хоре, и эти же 3 спортсмена являются частью 8 спортсменов, занимающихся в драмкружке, то у нас есть:

• \( |D| = 22 \)
• \( |H| = 23 \)
• \( |S| = 24 \)
• \( |D \cap S| = 8 \)
• \( |S \cap H| = 3 \)
• \( |D \cap H| = ? \)
• \( |D \cap H \cap S| = ? \)

При отсутствии информации о \( |D \cap H| \) и \( |D \cap H \cap S| \), невозможно точно решить задачу.

Если предположить, что 3 спортсмена, посещающих хор, это единственное пересечение между хором и спортом, и эти же 3 спортсмена, являются частью 8 спортсменов, занимающихся в драмкружке (т.е. \( |D \cap H \cap S| = 3 \)), и нет других пересечений между драмкружком и хором, то \( |D \cap H| = 3 \).

Тогда:

• \( |D \cup H \cup S| = |D| + |H| + |S| - |D \cap H| - |D \cap S| - |H \cap S| + |D \cap H \cap S| \)
• \( |D ∪ H ∪ S| = 22 + 23 + 24 - 3 - 8 - 3 + 3 = 72 - 14 = 58 \).

Количество ребят, которые не занимаются ничем:

\( N = 68 - |D ∪ H ∪ S| = 68 - 58 = 10 \).

Важно: этот результат получен на основе предположений о недостающих данных.

Если условие задачи подразумевало, что 3 спортсмена, посещающих хор, являются частью 8 спортсменов, занимающихся в драмкружке, и эти 3 спортсмена занимаются всем, то:

• \( |D \cap S| = 8 \)
• \( |S \cap H| = 3 \)
• \( |D ∪ H ∪ S| \) = 22 + 23 + 24 - (пересечения) ...

Поскольку условия для \( |D \cap H| \) и \( |D ∪ H ∪ S| \) не заданы, то задача некорректна.

Однако, если интерпретировать условие: «3 спортсмена посещают и драмкружок и хор» как \( |D ∪ H ∪ S| = 3 \) И эти 3 спортсмена являются частью 8 спортсменов, занимающихся в драмкружке, то задача решаема.

В таком случае, количество ребят, занимающихся хотя бы одним видом деятельности:

\( |D ∪ H ∪ S| = 22 + 23 + 24 - (|D ∪ S|) - (|S ∪ H|) - (|D ∪ H|) + (|D ∪ H ∪ S|) \)

\( |D ∪ H ∪ S| = 22 + 23 + 24 - 8 - 3 - |D ∪ H| + |D ∪ H ∪ S| \)

Если предположить, что 3 спортсмена, посещающие хор, это одновременно и спортсмены, и занимающиеся в драмкружке (то есть \( |D \cap H ∪ S| = 3 \)), и нет других пересечений между драмкружком и хором (\( |D ∪ H| = 3 \), тогда:

\( |D ∪ H ∪ S| = 22 + 23 + 24 - 3 - 8 - 3 + 3 = 58 \).

Количество ребят, которые не занимаются ни одним видом деятельности:

\( 68 - 58 = 10 \).

Ответ: 10.