18.(3 балла) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками: y=-x², y=0, x=-1, x=1

Решение:

1. Определим границы интегрирования. По условию они заданы: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
2. Верхняя граница фигуры — это \( y = 0 \) (ось абсцисс), а нижняя — \( y = -x^2 \) (график параболы, ветви которой направлены вниз).
3. Площадь фигуры \( S \) находится по формуле определённого интеграла: \[ S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{низ}) dx \]
4. Подставим значения: \( S = \int_{-1}^{1} (0 - (-x^2)) dx = \int_{-1}^{1} x^2 dx \).
5. Вычислим интеграл: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \].

Ответ: \( \frac{2}{3} \).