20. (3 балла) На столе стоит цилиндрическая банка с водой. Радиус основания банки R = 7 см. Если в эту банку опускают шарик радиусом r = 4 см, то он ложится на дно банки, а поверхность воды при этом поднимается настолько, что становится касательной к шарику. Найдите объём воды в банке.

Решение:

1. Объём воды в банке до погружения шарика равен объёму цилиндра высотой \( h_1 \) и радиусом \( R=7 \text{ см} \). \( V_{воды} = \pi R^2 h_1 \).
2. После погружения шарика, уровень воды поднимается до высоты \( h_2 \). Новый объём в банке — это сумма объёма воды и объёма шарика. \( V_{общий} = V_{воды} + V_{шарика} \).
3. Объём шарика \( V_{шарика} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (4 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256\pi}{3} \text{ см}^3 \).
4. Новый объём в банке также можно представить как объём цилиндра высотой \( h_2 \) и радиусом \( R=7 \text{ см} \): \( V_{общий} = \pi R^2 h_2 = \pi (7 \text{ см})^2 h_2 = 49\pi h_2 \).
5. По условию, поверхность воды становится касательной к шарику. Это означает, что высота \( h_2 \) равна диаметру шарика, то есть \( h_2 = 2r = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см} \).
6. Теперь можем найти \( V_{общий} \): \( V_{общий} = 49\pi \cdot 8 = 392\pi \text{ см}^3 \).
7. Мы знаем, что \( V_{общий} = V_{воды} + V_{шарика} \). Подставим известные значения: \( 392\pi = V_{воды} + \frac{256\pi}{3} \).
8. Выразим объём воды: \( V_{воды} = 392\pi - \frac{256\pi}{3} = \frac{392 \cdot 3 \pi - 256\pi}{3} = \frac{1176\pi - 256\pi}{3} = \frac{920\pi}{3} \text{ см}^3 \).

Ответ: \( \frac{920\pi}{3} \text{ см}^3 \).