19. (3 балла) В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение:

Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} \) складывается из площади двух оснований \( S_{осн} \) и площади боковой поверхности \( S_{бок} \).

\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \]

1. Площадь основания (треугольника):

Основание — треугольник со сторонами \( a=4 \text{ см}, b=5 \text{ см}, c=7 \text{ см} \). Используем формулу Герона для нахождения площади треугольника.

Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} \).

Площадь основания \( S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \).

\[ S_{осн} = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \text{ см}^2 \].

2. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, а \( H \) — высота призмы (длина бокового ребра).

Периметр основания \( P_{осн} = a+b+c = 4+5+7 = 16 \text{ см} \).

По условию, боковое ребро равно большей высоте основания. В треугольнике со сторонами 4, 5, 7, наибольшей стороной является 7. Высота, опущенная на наибольшую сторону, будет наименьшей. Нам нужно найти высоту, опущенную на наименьшую сторону, чтобы определить боковое ребро.

Используем формулу площади через высоту: \( S_{осн} = \frac{1}{2} 0 2 h \).

Найдем высоту, опущенную на сторону 7 (наименьшая высота):

\[ 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 7 h_7 \]

\[ h_7 = \frac{8\sqrt{6}}{7} \text{ см} \].

Найдем высоту, опущенную на сторону 5:

\[ 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 5 h_5 \]

\[ h_5 = \frac{8\sqrt{6}}{5} \text{ см} \].

Найдем высоту, опущенную на сторону 4 (наибольшая высота):

\[ 4\sqrt{6} = \frac{1}{2} 4 h_4 \]

\[ h_4 = \frac{8\sqrt{6}}{4} = 2\sqrt{6} \text{ см} \].

По условию, боковое ребро равно большей высоте основания, то есть \( H = h_4 = 2\sqrt{6} \text{ см} \).

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 16 \text{ см} \cdot 2\sqrt{6} \text{ см} = 32\sqrt{6} \text{ см}^2 \].

3. Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 (4\sqrt{6}) + 32\sqrt{6} = 8\sqrt{6} + 32\sqrt{6} = 40\sqrt{6} \text{ см}^2 \].

Ответ: \( 40\sqrt{6} \text{ см}^2 \).