21. (3 балла) Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 3^{x^2 · y^2} = \frac{1}{9} \\ y - x = 2 \end{cases}\)

Решение:

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = x + 2 \).

Подставим это выражение в первое уравнение. Сначала упростим его:

\[ 3^{x^2 · y^2} = \frac{1}{9} \]\[ 3^{x^2 · y^2} = 3^{-2} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ x^2 · y^2 = -2 \]

Теперь подставим \( y = x + 2 \):

\[ x^2 (x+2)^2 = -2 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 (x^2 + 4x + 4) = -2 \]\[ x^4 + 4x^3 + 4x^2 = -2 \]\[ x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 2 = 0 \]

Это уравнение четвёртой степени. Левая часть уравнения \( x^2(x+2)^2 + 2 \) всегда больше или равна 2 (так как \( x^2(x+2)^2 \) — это квадрат выражения, который неотрицателен). Таким образом, уравнение \( x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 2 = 0 \) не имеет действительных решений.

Ответ: Действительных решений нет.