20. Тип 16 № 11035 Точка О равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки О видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°?

Решение:

Точка О, равноудаленная от всех сторон треугольника, является центром вписанной окружности.

Самая длинная сторона треугольника соответствует наименьшему углу. В данном случае, самая длинная сторона — сторона, противолежащая углу \( 22^\circ \).

Пусть углы треугольника равны \( ∠A = 22^\circ \), \( ∠B = 76^\circ \), \( ∠C = 82^\circ \).

Угол, под которым из центра вписанной окружности видна сторона, равен \( 180^\circ \) минус половина угла треугольника, противолежащего этой стороне.

Угол, под которым видна самая длинная сторона (противолежащая \( ∠A \)), равен \( ∠BOC \).

\( ∠BOC = 180^\circ - (∠OBC + ∠OCB) \).

Так как \( OB \) и \( OC \) — биссектрисы углов \( B \) и \( C \) соответственно:

\( ∠OBC = ∠ABC / 2 = 76^\circ / 2 = 38^\circ \)

\( ∠OCB = ∠ACB / 2 = 82^\circ / 2 = 41^\circ \)

\( ∠BOC = 180^\circ - (38^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 79^\circ = 101^\circ \)

Ответ: 101