19. (3 балла) Решить уравнение \((3x-x^2-2)\sqrt{7x+4}=0\)

Решение:

1. Уравнение имеет вид произведения, равного нулю: \(A \cdot B = 0\), что означает \(A=0\) или \(B=0\).
2. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \(3x - x^2 - 2 = 0\)
• Умножим на -1 для удобства: \(x^2 - 3x + 2 = 0\)
• Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (произведение корней = 2, сумма корней = 3) или дискриминант.
• Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\).
• Случай 2: \(\sqrt{7x+4} = 0\)
• Возведем обе части в квадрат:
• \(7x+4 = 0\)
• \(7x = -4\)
• \(x_3 = -4/7\).
3. Проверим ОДЗ (область допустимых значений): Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
• \(7x+4 \ge 0\)
• \(7x \ge -4\)
• \(x \ge -4/7\).
4. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ:
• \(x_1 = 1\): \(1 \ge -4/7\) — подходит.
• \(x_2 = 2\): \(2 \ge -4/7\) — подходит.
• \(x_3 = -4/7\): \(-4/7 \ge -4/7\) — подходит.
5. Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x = 1, x = 2, x = -4/7\)