17. (2 балла) Решите систему уравнений \(\begin{cases} \frac{y-x}{3} = 1 \\ 2^{x^2-2} \cdot 2^{x} = 8 \end{cases}\)

Решение:

1. Решим первое уравнение системы:
• \(\frac{y-x}{3} = 1\)
• \(y - x = 3\)
• \(y = x + 3\)
2. Решим второе уравнение системы:
• \(2^{x^2-2} \cdot 2^{x} = 8\)
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
• \(2^{(x^2-2) + x} = 8\)
• \(2^{x^2 + x - 2} = 8\)
• Представим 8 как степень двойки: \(8 = 2^3\).
• \(2^{x^2 + x - 2} = 2^3\)
• Приравниваем показатели степеней:
• \(x^2 + x - 2 = 3\)
• \(x^2 + x - 5 = 0\)
3. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + x - 5 = 0\) с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 1 * (-5) = 1 + 20 = 21.
• \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\)
• \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}\)
4. Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x в уравнение \(y = x + 3\):
• Для \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\):
• \(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} + 3 = \frac{-1 + \sqrt{21} + 6}{2} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\)
• Для \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}\):
• \(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} + 3 = \frac{-1 - \sqrt{21} + 6}{2} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\)

Ответ: \(\left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}; \frac{5 + \sqrt{21}}{2}\right)\) и \(\left(\frac{-1 - \sqrt{21}}{2}; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}\right)\)