15. (2 балла) Решите уравнение \(\sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1\)

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
2. Подставляем в уравнение:
• \(2 \sin x \cos x + 2 \sin x = \cos x + 1\)
3. Группируем слагаемые:
• \(2 \sin x (\cos x + 1) - (\cos x + 1) = 0\)
4. Выносим общий множитель \((\cos x + 1)\):
• \((\cos x + 1)(2 \sin x - 1) = 0\)
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• Случай 1: \(\cos x + 1 = 0\)
• \(\cos x = -1\)
• \(x = \pi + 2\pi k\), где k — целое число.
• Случай 2: \(2 \sin x - 1 = 0\)
• \(2 \sin x = 1\)
• \(\sin x = 1/2\)
• \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\), где n, m — целые числа.

Ответ: \(x = \pi + 2\pi k\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\), где k, n, m — целые числа.