18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= 2-х² и y = х и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

1. Найдём точки пересечения графиков функций \( y = 2 - x^2 \) и \( y = x \).

Приравняем правые части уравнений:

\( 2 - x^2 = x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Найдём соответствующие значения \( y \):

При \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 1 \). Точка пересечения: \( (1; 1) \).

При \( x_2 = -2 \), \( y_2 = -2 \). Точка пересечения: \( (-2; -2) \).

2. Построим графики функций.

\( y = 2 - x^2 \) — парабола с вершиной в точке \( (0; 2) \), ветви направлены вниз.

\( y = x \) — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.

3. Найдем площадь фигуры с помощью интеграла.

Площадь \( S \) фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a, b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом отрезке, вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \)

В нашем случае \( f(x) = 2 - x^2 \) (верхняя функция) и \( g(x) = x \) (нижняя функция), а пределы интегрирования \( a = -2 \) и \( b = 1 \).

\( S = \int_{-2}^{1} ((2 - x^2) - x) dx \)

\( S = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} \)

Подставим верхний предел:

\( F(1) = 2(1) - \frac{(1)^2}{2} - \frac{(1)^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)

Приведём к общему знаменателю (6):

\( F(1) = \frac{12}{6} - \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{12 - 3 - 2}{6} = \frac{7}{6} \)

Подставим нижний предел:

\( F(-2) = 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} \)

Приведём к общему знаменателю (3):

\( F(-2) = -\frac{18}{3} + \frac{8}{3} = \frac{-18 + 8}{3} = -\frac{10}{3} \)

Вычислим площадь:

\( S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} \)

Приведём к общему знаменателю (6):

\( S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} \)

Сократим дробь:

\( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) квадратных единиц или 4.5.