15. (3 балла) Решите уравнение \(\sqrt{x^2+3x} = \sqrt{21-x}\)

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x^2+3x} = \sqrt{21-x} \) необходимо возвести обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x^2+3x})^2 = (\sqrt{21-x})^2 \)

\( x^2+3x = 21-x \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2+3x+x-21 = 0 \)

\( x^2+4x-21 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Способ 1: Дискриминант

\( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)

Способ 2: Теорема Виета

Для уравнения \( x^2+4x-21=0 \), сумма корней \( x_1+x_2 = -4 \), произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = -21 \).

Подбираем корни: \( 3 \) и \( -7 \).

\( 3 + (-7) = -4 \)

\( 3 \cdot (-7) = -21 \)

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = -7 \).

Проверка:

Для \( x=3 \): \( \sqrt{3^2+3 \cdot 3} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \). \( \sqrt{21-3} = \sqrt{18} \). Равенство выполняется.

Для \( x=-7 \): \( \sqrt{(-7)^2+3 \cdot (-7)} = \sqrt{49-21} = \sqrt{28} \). \( \sqrt{21-(-7)} = \sqrt{21+7} = \sqrt{28} \). Равенство выполняется.

Ответ: 3; -7.