16. (3 балла) Решите уравнение. sin²x + 4cos2x=4cosx.

Решение:

Для решения этого тригонометрического уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \) и основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( (1 - \cos^2 x) + 4(2\cos^2 x - 1) = 4\cos x \)

Раскроем скобки:

\( 1 - \cos^2 x + 8\cos^2 x - 4 = 4\cos x \)

Приведём подобные члены:

\( 7\cos^2 x - 3 = 4\cos x \)

Перенесём все члены в левую часть:

\( 7\cos^2 x - 4\cos x - 3 = 0 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = \cos x \).

\( 7y^2 - 4y - 3 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100 \)

\( \sqrt{D} = 10 \)

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 7} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7} \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).

Случай 1: \( \cos x = 1 \)

Это частный случай. Решение:

\( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( \cos x = -\frac{3}{7} \)

Это общий случай. Решение:

\( x = r r r r r \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi k \) или \( x = -\arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Можно записать это короче:

\( x = r r r r r \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi k \) или \( x = 2\pi k - \arccos(-\frac{3}{7}) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = 2\pi n \) и \( x = r r r r r \arccos(-\frac{3}{7}) + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).