1756. В треугольнике АВС AB = BC = AC = 54√3. Найдите высоту СН.

Решение:

Поскольку \( AB = BC = AC \), треугольник ABC является равносторонним.

В равностороннем треугольнике высота \( CH \) также является медианой и биссектрисой. Она делит сторону AB пополам, то есть \( AH = HB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 54\sqrt{3} = 27\sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике ACH (\( \angle H = 90^\circ \)) применим теорему Пифагора:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( (54\sqrt{3})^2 = (27\sqrt{3})^2 + CH^2 \)

\( 54^2 \cdot 3 = 27^2 \cdot 3 + CH^2 \)

\( 2916 \cdot 3 = 729 \cdot 3 + CH^2 \)

\( 8748 = 2187 + CH^2 \)

\( CH^2 = 8748 - 2187 \)

\( CH^2 = 6561 \)

\( CH = \sqrt{6561} \)

\( CH = 81 \)

Ответ: Высота СН равна 81.