1747. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 36√3. Найдите высоту СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)), \( \angle A = 30^\circ \), \( AB = 36\sqrt{3} \).

Найдем катеты:

\( BC = AB \cdot \sin A = 36\sqrt{3} \cdot \sin 30^\circ = 36\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 18\sqrt{3} \)

\( AC = AB \cdot \cos A = 36\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 36\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \cdot 3 = 54 \)

Площадь треугольника ABC:

\( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 18\sqrt{3} = 27 \cdot 18\sqrt{3} = 486\sqrt{3} \)

Также площадь можно вычислить как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \).

\( 486\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \cdot CH \)

\( 486\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \cdot CH \)

\( CH = \frac{486\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} \)

\( CH = 27 \)

Ответ: Высота СН равна 27.