17. Решить задачу: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны \( \pi \). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

1. Находим гипотенузу основания треугольника.

По теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Следовательно, гипотенуза \( c = \sqrt{100} = 10 \).

2. Определяем радиус описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: \( R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

3. Определяем высоту цилиндра.

Высота цилиндра, описанного около призмы, равна высоте боковых ребер призмы: \( H = \pi \).

4. Находим объем цилиндра.

Формула объема цилиндра: \( V = \pi R^2 H \).

Подставляем значения:

\[ V = \pi \cdot 5^2 \cdot \pi = \pi \cdot 25 \cdot \pi = 25\pi^2 \]

Ответ: \( 25\pi^2 \)