17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию y=х³-(5/2)х²-2x+3/2 на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Дана функция \( y = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \).

1. Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2})' \)

\( y' = 3x^2 - \frac{5}{2} · 2x - 2 \)

\( y' = 3x^2 - 5x - 2 \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( 3x^2 - 5x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{5 - √{49}}{2 · 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

\( x_2 = \frac{5 + √{49}}{2 · 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)

Критические точки: \( x = -\frac{1}{3} \) и \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

Интервал \( (-∞, -\frac{1}{3}) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0 \). Функция возрастает.

Интервал \( (- \frac{1}{3}, 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 5(0) - 2 = -2 < 0 \). Функция убывает.

Интервал \( (2, +∞) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3)^2 - 5(3) - 2 = 3(9) - 15 - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим точки экстремума:

В точке \( x = -\frac{1}{3} \) производная меняет знак с '+' на '-'. Это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - \frac{5}{2}(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} \)

\( y(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} - \frac{5}{2} · \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \)

\( y(-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27} - \frac{5}{18} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \)

Приведем к общему знаменателю 54:

\( y(-\frac{1}{3}) = -\frac{2}{54} - \frac{15}{54} + \frac{36}{54} + \frac{81}{54} = \frac{-2 - 15 + 36 + 81}{54} = \frac{100}{54} = \frac{50}{27} \)

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '-' на '+'. Это точка локального минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(2) = (2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 - 2(2) + \frac{3}{2} \)

\( y(2) = 8 - \frac{5}{2}(4) - 4 + \frac{3}{2} \)

\( y(2) = 8 - 10 - 4 + \frac{3}{2} \)

\( y(2) = -6 + \frac{3}{2} = -\frac{12}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{9}{2} \)

Ответ:

Промежутки возрастания: \( (-∞, -\frac{1}{3}] \) и \( [2, +∞) \).

Промежутки убывания: \( [-\frac{1}{3}, 2] \).

Точка максимума: \( x = -\frac{1}{3} \), \( y = \frac{50}{27} \).

Точка минимума: \( x = 2 \), \( y = -\frac{9}{2} \).