16. (3 балла) Решите уравнение: 2sinx - sinx-cosx =0.

Решение:

Дано уравнение: \( 2·\sin^2{x} - \sin{x} \cdot \cos{x} = 0 \).

Вынесем общий множитель \( \sin{x} \) за скобки:

\( \sin{x}(2\sin{x} - \cos{x}) = 0 \)

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) \( \sin{x} = 0 \)

\( x = \pi k \), где \( k ∈ ℤ \).

2) \( 2\sin{x} - \cos{x} = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos{x} \) (предварительно проверив, что \( \cos{x} ≠ 0 \). Если \( \cos{x}=0 \), то \( \sin{x}=±1 \), и \( 2(±1) - 0 ≠ 0 \), значит \( \cos{x} ≠ 0 \)).

\( 2\frac{\sin{x}}{\cos{x}} - 1 = 0 \)

\( 2\tan{x} = 1 \)

\( \tan{x} = \frac{1}{2} \)

\( x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n \), где \( k, n ∈ ℤ \).