17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию \( y=3x^2-x^3 \) на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Решение:

1. Найдём производную функции:
2. \( y' = (3x^2 - x^3)' \)
3. \( y' = 6x - 3x^2 \)
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
5. \( 6x - 3x^2 = 0 \)
6. \( 3x(2 - x) = 0 \)
7. Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).
8. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
9. Интервал (\( -\infty \; ; 0 \)): Возьмём \( x = -1 \). \( y'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 \) (производная отрицательна, функция убывает).
10. Интервал (\( 0 \; ; 2 \)): Возьмём \( x = 1 \). \( y'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 \) (производная положительна, функция возрастает).
11. Интервал (\( 2 \; ; +\infty \)): Возьмём \( x = 3 \). \( y'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 \) (производная отрицательна, функция убывает).
12. Сделаем выводы:
13. Промежутки возрастания: \( [0; 2] \)
14. Промежутки убывания: \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \)
15. Точки экстремума:
16. В точке \( x=0 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.
17. \( y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \). Точка минимума: \( (0; 0) \).
18. В точке \( x=2 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.
19. \( y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 \). Точка максимума: \( (2; 4) \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \); возрастает на \( [0; 2] \); локальный минимум в точке \( (0; 0) \), локальный максимум в точке \( (2; 4) \).