16. (3 балла) Решите уравнение. \( \sin^2x + 3\cos x - 3 = 0 \).

Решение:

1. Заменим \( \sin^2x \) через \( 1 - \cos^2x \) согласно основному тригонометрическому тождеству:
2. \( (1 - \cos^2x) + 3\cos x - 3 = 0 \)
3. Упростим выражение:
4. \( 1 - \cos^2x + 3\cos x - 3 = 0 \)
5. \( -\cos^2x + 3\cos x - 2 = 0 \)
6. Умножим обе части на -1, чтобы коэффициент при \( \cos^2x \) стал положительным:
7. \( \cos^2x - 3\cos x + 2 = 0 \)
8. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда получим квадратное уравнение относительно \( t \):
9. \( t^2 - 3t + 2 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
11. \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)
12. Найдем корни для \( t \):
13. \( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
14. \( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)
15. Теперь вернёмся к замене \( t = \cos x \) и решим два уравнения:
16. 1) \( \cos x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) всегда находится в пределах от -1 до 1.
17. 2) \( \cos x = 1 \). Общее решение этого уравнения:
18. \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).