16. (3 балла) Решите уравнение. sin²x + 4cos²x=4cosx.

Решение:

Для решения уравнения \( \sin^2x + 4\cos^2x = 4\cos x \) воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2x = 1 - \cos^2x \).

Подставим его в уравнение:

\( (1 - \cos^2x) + 4\cos^2x = 4\cos x \)

Упростим выражение:

\( 1 + 3\cos^2x = 4\cos x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 3\cos^2x - 4\cos x + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 3y^2 - 4y + 1 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{-(-4) + 2}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-(-4) - 2}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \).

Случай 1: \( \cos x = 1 \)

Это означает, что \( x = 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( \cos x = 1/3 \)

Это означает, что \( x = \pm \arccos(1/3) + 2\pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(1/3) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.