16. (3 балла) Решите уравнение: \(\cos^2x - \sinx +1=0.\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \).

Подставим в уравнение:

\( (1 - \sin^2x) - \sinx + 1 = 0 \)

\( -\sin^2x - \sinx + 2 = 0 \)

Умножим на -1:

\( \sin^2x + \sinx - 2 = 0 \)

Сделаем замену \( y = \sin x \).

\( y^2 + y - 2 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения:

\( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \)

\( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \)

Вернемся к замене:

1) \( \sin x = 1 \). Это возможно. \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

2) \( \sin x = -2 \). Это невозможно, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).