16. (1 балл) Решите уравнение: √-72-17x = -x

Привет! Чтобы решить такое уравнение, где есть корень, нужно сначала избавиться от него, возведя обе части в квадрат. Но будь внимателен: после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому в конце обязательно проверим решение.

Уравнение: $$\sqrt{-72-17x} = -x$$

1. Условие: Под корнем должно быть неотрицательное число, и правая часть (результат корня) не может быть отрицательной, так как корень извлекается в действительных числах.
2. $$-72-17x \ge 0 \implies -17x \ge 72 \implies x \le -\frac{72}{17}$$
3. $$-x \ge 0 \implies x \le 0$$
4. Возводим обе части в квадрат: $$(\sqrt{-72-17x})^2 = (-x)^2$$
5. $$-72-17x = x^2$$
6. Переносим всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 17x + 72 = 0$$
7. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
8. $$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \times 1 \times 72 = 289 - 288 = 1$$
9. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + 1}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$
10. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - 1}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$
11. Проверяем корни:
12. Для x = -8:
13. $$\sqrt{-72 - 17(-8)} = \sqrt{-72 + 136} = \sqrt{64} = 8$$
14. $$-x = -(-8) = 8$$
15. 8 = 8. Подходит!
16. Для x = -9:
17. $$\sqrt{-72 - 17(-9)} = \sqrt{-72 + 153} = \sqrt{81} = 9$$
18. $$-x = -(-9) = 9$$
19. 9 = 9. Подходит!

Оба корня удовлетворяют условиям $$x \le -\frac{72}{17}$$ (примерно -4.2) и $$x \le 0$$. Оба корня подходят.

Ответ: -8; -9.