15. Площадь боковой поверхности конуса равна 60π см²; расстояние от центра основания до образующей равно 4,8 см. Найдите объём конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = \pi R l \), где \( R \) — радиус основания, \( l \) — длина образующей.

Нам дано: \( S_{бок} = 60\pi \) см².

\[ \pi R l = 60\pi \]

\[ Rl = 60 \]

Расстояние от центра основания до образующей — это радиус основания \( R \). Таким образом, \( R = 4,8 \) см.

Теперь найдём длину образующей \( l \):

\[ 4,8 \cdot l = 60 \]

\[ l = \frac{60}{4,8} = \frac{600}{48} = \frac{100}{8} = 12,5 \]

\( l = 12,5 \) см.

Теперь найдём высоту конуса \( h \), используя теорему Пифагора: \( R^2 + h^2 = l^2 \).

\[ (4,8)^2 + h^2 = (12,5)^2 \]

\[ 23,04 + h^2 = 156,25 \]

\[ h^2 = 156,25 - 23,04 = 133,21 \]

\[ h = \sqrt{133,21} = 11,5 \]

\( h = 11,5 \) см.

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \).

\[ V = \frac{1}{3} \pi (4,8)^2 (11,5) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi (23,04) (11,5) \]

\[ V = \frac{1}{3} \pi (265,06) \]

\[ V = 88,353... \pi \]

Округлим до тысячных:

\[ V \approx 88,353 \pi \]

Ответ: 88,353π