14. Решите неравенство log₂(x² + 7x + 10) ≤ -2.

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля:

\[ x^2 + 7x + 10 > 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 7x + 10 = 0 \). Дискриминант \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \). Корни: \( x_1 = \frac{-7 - 3}{2} = -5 \) и \( x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \).

Парабола \( y = x^2 + 7x + 10 \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 7x + 10 > 0 \) при \( x < -5 \) или \( x > -2 \).

Теперь решим само неравенство, используя свойство логарифмов. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

\[ x^2 + 7x + 10 \le 2^{-2} \]

\[ x^2 + 7x + 10 \le \frac{1}{4} \]

Перенесём \( \frac{1}{4} \) в левую часть:

\[ x^2 + 7x + 10 - \frac{1}{4} \le 0 \]

\[ x^2 + 7x + \frac{39}{4} \le 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 7x + \frac{39}{4} = 0 \). Дискриминант \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{39}{4} = 49 - 39 = 10 \). Корни:

\[ x_3 = \frac{-7 - \sqrt{10}}{2} \]

\[ x_4 = \frac{-7 + \sqrt{10}}{2} \]

Парабола \( y = x^2 + 7x + \frac{39}{4} \) ветвями вверх, поэтому \( x^2 + 7x + \frac{39}{4} \le 0 \) при \( x \in [\frac{-7 - \sqrt{10}}{2}; \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}] \).

Теперь объединим ОДЗ и решение неравенства. Заметим, что \( \sqrt{10} \approx 3,16 \).

\( x_3 = \frac{-7 - 3,16}{2} = \frac{-10,16}{2} = -5,08 \)

\( x_4 = \frac{-7 + 3,16}{2} = \frac{-3,84}{2} = -1,92 \)

ОДЗ: \( x < -5 \) или \( x > -2 \).

Решение неравенства: \( [-5,08; -1,92] \).

Пересечение ОДЗ и решения неравенства:

• \( x < -5 \) и \( x \in [-5,08; -1,92] \) ⇒ \( x \in [-5,08; -5) \)
• \( x > -2 \) и \( x \in [-5,08; -1,92] \) ⇒ \( x \in (-2; -1,92] \)

То есть, \( x \in [\frac{-7 - \sqrt{10}}{2}; -5) \cup (-2; \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}] \).

Ответ: [(-7 - √10)/2; -5) ∪ (-2; (-7 + √10)/2]