10. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 6,8 + 10t - 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 10 м?

Решение:

Нам нужно найти время \( t \), когда высота \( h(t) \) будет не менее 10 м. Составим неравенство:

\[ h(t) \ge 10 \]

\[ 6,8 + 10t - 5t^2 \ge 10 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ -5t^2 + 10t + 6,8 - 10 \ge 0 \]

\[ -5t^2 + 10t - 3,2 \ge 0 \]

Умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак неравенства:

\[ 5t^2 - 10t + 3,2 \le 0 \]

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 5t^2 - 10t + 3,2 = 0 \). Воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3,2 = 100 - 64 = 36 \]

Корни уравнения:

\[ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{10 - 6}{10} = \frac{4}{10} = 0,4 \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{10 + 6}{10} = \frac{16}{10} = 1,6 \]

Парабола \( y = 5t^2 - 10t + 3,2 \) ветвями направлена вверх. Неравенство \( 5t^2 - 10t + 3,2 \le 0 \) выполняется на промежутке между корнями, то есть \( t \in [0,4; 1,6] \).

Время, в течение которого мяч находится на высоте не менее 10 м, равно разности между большим и меньшим корнем:

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 1,6 - 0,4 = 1,2 \]

Ответ: 1,2