15. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB=20 и AD=41, отмечена точка E так, что \(\angle EAB = 45°\). Найдите ED.

Решение:

По условию \( ABCD \) — прямоугольник, значит \( AD = BC = 41 \) и \( AB = CD = 20 \). Также \( \angle B = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABE \).

Мы знаем, что \( \angle EAB = 45° \) и \( \angle B = 90° \). Следовательно, \( \angle AEB = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Так как \( \angle EAB = \angle AEB = 45° \), то \( \triangle ABE \) — равнобедренный. Значит, \( AE = BE \).

В прямоугольнике \( AD = BC = 41 \). \( BE \) — это часть стороны \( BC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABE \) по теореме Пифагора: $$ AE^2 = AB^2 + BE^2 $$

Поскольку \( AE = BE \), то: $$ BE^2 + BE^2 = AB^2 $$ $$ 2BE^2 = 20^2 $$ $$ 2BE^2 = 400 $$ $$ BE^2 = 200 $$ $$ BE = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} $$

Тогда \( AE = 10\sqrt{2} \).

Теперь найдем \( EC \): $$ EC = BC - BE = 41 - 10\sqrt{2} $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ECD \). У него катеты \( CD = 20 \) и \( EC = 41 - 10\sqrt{2} \).

По теореме Пифагора найдём \( ED \): $$ ED^2 = CD^2 + EC^2 $$ $$ ED^2 = 20^2 + (41 - 10\sqrt{2})^2 $$ $$ ED^2 = 400 + (41^2 - 2 \cdot 41 · 10\sqrt{2} + (10\sqrt{2})^2) $$ $$ ED^2 = 400 + (1681 - 820\sqrt{2} + 200) $$ $$ ED^2 = 400 + 1881 - 820\sqrt{2} $$ $$ ED^2 = 2281 - 820\sqrt{2} $$ $$ ED = \sqrt{2281 - 820\sqrt{2}} $$

Ответ: ED = $$\sqrt{2281 - 820\sqrt{2}}$$.