15) Дано: \( ABCD \) — ромб. \( BD = 8 \), \( BC = 5 \). Найти: \( \vec{a} = \vec{AB} \).

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения \( O \) пополам. \( BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BOC \). Катеты \( BO = 4 \) и \( OC \). Гипотенуза \( BC = 5 \).

По теореме Пифагора:

\[ OC^2 = BC^2 - BO^2 \]

\[ OC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \]

\[ OC = \sqrt{9} = 3 \]

В ромбе \( AB = BC = CD = DA \). Следовательно, \( AB = 5 \).

Длина вектора \( \vec{a} \) равна длине стороны \( AB \).

Ответ: \( |\vec{a}| = 5 \).