12) Дано: \( ABCD \) — квадрат. \( AC = 2 \). Найти: \( \vec{a} = \vec{AB} \).

Решение:

В квадрате \( ABCD \) диагонали равны и пересекаются под прямым углом. \( AC = BD = 2 \).

Диагонали квадрата делятся точкой пересечения \( O \) пополам: \( AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOB \). Катеты \( AO = 1 \), \( BO = 1 \). Сторона квадрата \( AB \) является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AO^2 + BO^2 \]

\[ AB^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \]

\[ AB = \sqrt{2} \]

Длина вектора \( \vec{a} \) равна длине стороны \( AB \).

Ответ: \( |\vec{a}| = \sqrt{2} \).