14. (1балл) Найдите наименьшее значение функции y = 2x³ + 3x² - 12x - 1 на отрезке [-1;2]

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, найдем сначала производную функции и критические точки.

1. Находим производную функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 1 \):

\[ y' = (2x^3 + 3x^2 - 12x - 1)' = 6x^2 + 6x - 12 \]

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \]

Разделим на 6:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант:

\[ (x+2)(x-1) = 0 \]

Критические точки: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \).

3. Отмечаем критические точки, принадлежащие отрезку \( [-1; 2] \). Из найденных точек \( x_1 = -2 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x_2 = 1 \) принадлежит отрезку.

4. Вычисляем значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:

• При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12 \).
• При \( x = 1 \): \( y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8 \).
• При \( x = 2 \): \( y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) - 1 = 2(8) + 3(4) - 24 - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3 \).

5. Сравниваем полученные значения: \( 12, -8, 3 \).

Наименьшее значение равно \( -8 \).

Ответ: -8.