13 В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 14, а длина бокового ребра равна √130. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадрат в основании. Сторона основания \( a = 14 \). Боковое ребро \( l = \sqrt{130} \).

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей четырёх равных треугольников. Для нахождения площади одного такого треугольника нам нужна его высота — апофема \( h_a \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром. Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

По теореме Пифагора:

\( l^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 \)

\( (\sqrt{130})^2 = h_a^2 + 7^2 \)

\( 130 = h_a^2 + 49 \)

\( h_a^2 = 130 - 49 = 81 \)

\( h_a = \sqrt{81} = 9 \)

Площадь одного бокового треугольника равна:

\( S_{бок.тр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 9 = 7 \cdot 9 = 63 \)

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырёх таких треугольников:

\( S_{бок. пов.} = 4 \cdot S_{бок.тр.} = 4 \cdot 63 = 252 \)

Ответ: 252