12 В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ равно 12, а угол при вершине С равен 120°. Найдите высоту АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( ABC \), \( AC = BC \). Угол \( \angle C = 120^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), значит, углы при основании \( \angle A = \angle B = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Высота \( AH \) проведена к основанию \( BC \) (или к его продолжению). В прямоугольном треугольнике \( ABH \), \( \angle AHB = 90^{\circ} \). Нам нужно найти \( AH \).

Рассмотрим треугольник \( ABH \). Угол \( \angle B = 30^{\circ} \). У нас есть гипотенуза \( AB = 12 \).

Высота \( AH \) является катетом, противолежащим углу \( \angle B \). Используем синус:

\( \sin B = \frac{AH}{AB} \)

\( AH = AB \cdot \sin B \)

\( AH = 12 \cdot \sin 30^{\circ} \)

\( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)

\( AH = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \)

Ответ: 6