13. Решите систему: { (2x-3y = 6 (2x*2y = 8

Решение:

Решим систему уравнений:

1. \( \begin{cases} 2x - 3y = 6 \\ 2x \cdot 2y = 8 \end{cases} \)
2. Из второго уравнения \( 2x \cdot 2y = 8 \) выразим \( 4xy = 8 \) \( \Rightarrow xy = 2 \) \( \Rightarrow y = \frac{2}{x} \) (при \( x
   e 0 \)).
3. Подставим \( y = \frac{2}{x} \) в первое уравнение: \( 2x - 3(\frac{2}{x}) = 6 \) \( \Rightarrow 2x - \frac{6}{x} = 6 \).
4. Умножим обе части на \( x \) (при \( x
   e 0 \)): \( 2x^2 - 6 = 6x \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2x^2 - 6x - 6 = 0 \).
6. Разделим на 2: \( x^2 - 3x - 3 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21 \).
8. Найдём значения \( x \): \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \).
9. Найдем соответствующие значения \( y \), используя \( y = \frac{2}{x} \):
• Для \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \): \( y_1 = \frac{2}{\frac{3 + \sqrt{21}}{2}} = \frac{4}{3 + \sqrt{21}} = \frac{4(3 - \sqrt{21})}{(3 + \sqrt{21})(3 - \sqrt{21})} = \frac{4(3 - \sqrt{21})}{9 - 21} = \frac{4(3 - \sqrt{21})}{-12} = \frac{\sqrt{21} - 3}{3} \).
• Для \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \): \( y_2 = \frac{2}{\frac{3 - \sqrt{21}}{2}} = \frac{4}{3 - \sqrt{21}} = \frac{4(3 + \sqrt{21})}{(3 - \sqrt{21})(3 + \sqrt{21})} = \frac{4(3 + \sqrt{21})}{9 - 21} = \frac{4(3 + \sqrt{21})}{-12} = \frac{-3 - \sqrt{21}}{3} \).

Ответ: \( (\frac{3 + \sqrt{21}}{2}; \frac{\sqrt{21} - 3}{3}) \) и \( (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{21}}{3}) \).