13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Решение:

Противоположный вектор:

Вектор, противоположный данному вектору a, – это такой вектор, который имеет ту же длину, что и вектор a, но направлен в противоположную сторону. Противоположный вектор обозначается как -a.

Теорема о разности векторов:

Формулировка: Разность двух векторов равна сумме первого вектора и вектора, противоположного второму. То есть, a - b = a + (-b).

Доказательство:

1. Рассмотрим разность векторов a и b, где векторы отложены от одной точки О. Пусть конец вектора a – точка А, а конец вектора b – точка В. Тогда вектор разности a - b – это вектор ВА (идущий от конца b к концу a).
2. Теперь рассмотрим сумму a + (-b).
3. Вектор -b имеет ту же длину, что и b, но направлен противоположно. Если b = ОВ, то -b = ВО.
4. Применим правило сложения векторов (правило треугольника) к a + (-b):
• От точки О откладываем вектор a = ОА.
• От конца вектора a (точки А) откладываем вектор -b = ВО.
• Получаем вектор, идущий от начальной точки О до конечной точки О (так как А - это конец a, а ВО возвращает нас к началу).
5. Однако, такое применение правила треугольника не совсем удобно для визуализации. Проще использовать определение разности: c = a - b означает, что c + b = a.
6. Попробуем доказать a + (-b) = a - b.
7. Пусть c = a + (-b). Сложим c и b:
• c + b = (a + (-b)) + b
• По ассоциативному закону: c + b = a + ((-b) + b)
• По свойству противоположного вектора: (-b) + b = 0 (нулевой вектор).
• Тогда: c + b = a + 0
• По свойству нулевого вектора: a + 0 = a.
• Следовательно: c + b = a.
8. По определению разности, если c + b = a, то c = a - b.
9. Таким образом, мы доказали, что a + (-b) = a - b.

Вывод: Разность векторов a - b равна сумме вектора a и вектора, противоположного вектору b.