13) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠ABC = 80°
• ∠CAD = 34°

Найти: ∠ABD

Решение:

1. Свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°.
2. ∠ABC + ∠ADC = 180°
3. 80° + ∠ADC = 180°
4. ∠ADC = 180° - 80° = 100°.
5. Угол ∠ADC состоит из углов ∠ADB и ∠BDC.
6. ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 100°.
7. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
8. Угол ∠ABD опирается на дугу AD. Угол ∠ACD также опирается на дугу AD. Следовательно, ∠ABD = ∠ACD.
9. Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD также опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD = 34°.
10. Угол ∠BDC опирается на дугу BC. Угол ∠BAC также опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BDC = ∠BAC.
11. В треугольнике ADC: ∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180°
12. 34° + ∠ACD + 100° = 180°
13. ∠ACD = 180° - 34° - 100° = 46°.
14. Так как ∠ABD = ∠ACD, то ∠ABD = 46°.

Ответ: 46