13.(1 балл) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что \( BD_1 = 3 \), \( CD = 2 \), \( AD = 2 \). Найдите длину ребра \( AA_1 \).

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, и все углы между смежными ребрами равны 90 градусам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BDD_1 \). По теореме Пифагора:

\[ BD^2 + DD_1^2 = BD_1^2 \]

В основании ABCD, \( AD = 2 \) и \( CD = 2 \). Так как это прямоугольник, то \( AB = CD = 2 \) и \( BC = AD = 2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BCD \). По теореме Пифагора:

\[ BC^2 + CD^2 = BD^2 \]

\[ 2^2 + 2^2 = BD^2 \]

\[ 4 + 4 = BD^2 \]

\[ BD^2 = 8 \]

Теперь вернемся к треугольнику \( BDD_1 \). \( DD_1 \) — это высота параллелепипеда, то есть ребро \( AA_1 \). Обозначим \( AA_1 = h \).

\[ 8 + h^2 = 3^2 \]

\[ 8 + h^2 = 9 \]

\[ h^2 = 9 - 8 \]

\[ h^2 = 1 \]

\[ h = \sqrt{1} = 1 \]

Таким образом, длина ребра \( AA_1 = 1 \).

Ответ: 1.