12. Теплоход прошел 54 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в стоячей воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{54}{v+3} \) ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{42}{v-3} \) ч.

Общее время в пути составляет 4 часа:

\[ t_1 + t_2 = 4 \]

\[ \frac{54}{v+3} + \frac{42}{v-3} = 4 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v+3)(v-3) \), при условии \( v \ne 3 \) и \( v \ne -3 \) (скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v > 3 \)):

\[ 54(v-3) + 42(v+3) = 4(v+3)(v-3) \]

\[ 54v - 162 + 42v + 126 = 4(v^2 - 9) \]

\[ 96v - 36 = 4v^2 - 36 \]

Перенесём все члены в правую часть:

\[ 4v^2 - 36 - 96v + 36 = 0 \]

\[ 4v^2 - 96v = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 4v \):

\[ 4v(v - 24) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( v \):

\[ 4v = 0 \implies v = 0 \]

\[ v - 24 = 0 \implies v = 24 \]

Так как скорость теплохода в стоячей воде не может быть равна 0 (иначе он бы не двигался), и она должна быть больше скорости течения (3 км/ч), то подходит только \( v = 24 \) км/ч.

Ответ: 24 км/ч