11. Найди наибольшее целое решение неравенства \( \frac{x^2-6x+5}{2x+1} \le 0 \)

Решение:

1. Найдём корни числителя: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).

Используем дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \).

\[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6+4}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6-4}{2} = 1 \]

1. Найдём корень знаменателя: \( 2x+1=0 \).

\[ 2x = -1 \]

\[ x = -0,5 \]

Теперь рассмотрим знаки выражений на интервалах, образованных этими корнями: \( -0,5; 1; 5 \).

Метод интервалов:

• При \( x < -0,5 \) (например, \( x = -1 \)): числитель \( (-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1+6+5=12 \) (плюс), знаменатель \( 2(-1)+1 = -1 \) (минус). Дробь \( \frac{+}{-} = - \).
• При \( -0,5 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): числитель \( 0^2 - 6(0) + 5 = 5 \) (плюс), знаменатель \( 2(0)+1 = 1 \) (плюс). Дробь \( \frac{+}{+} = + \).
• При \( 1 \le x < 5 \) (например, \( x = 2 \)): числитель \( 2^2 - 6(2) + 5 = 4-12+5=-3 \) (минус), знаменатель \( 2(2)+1 = 5 \) (плюс). Дробь \( \frac{-}{+} = - \).
• При \( x \ge 5 \) (например, \( x = 6 \)): числитель \( 6^2 - 6(6) + 5 = 36-36+5=5 \) (плюс), знаменатель \( 2(6)+1 = 13 \) (плюс). Дробь \( \frac{+}{+} = + \).

Нам нужно, чтобы дробь была \( \le 0 \). Это выполняется на интервалах \( (-\infty; -0,5) \) и \( [1; 5] \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x \ne -0,5 \). Корни числителя \( x=1 \) и \( x=5 \) включаются в решение, так как неравенство нестрогое.

Итак, решениями неравенства являются \( x \in (-\infty; -0,5) \cup [1; 5] \).

Наибольшее целое решение находится в интервале \( [1; 5] \), и это число 5.

Ответ: 5