10. Один из корней уравнения x² + bx + 45 = 0 равен 5. Найди другой корень и коэффициент b.

Решение:

Так как \( x = 5 \) является корнем уравнения \( x^2 + bx + 45 = 0 \), то при подстановке \( x = 5 \) уравнение должно обращаться в верное равенство:

\[ 5^2 + b \cdot 5 + 45 = 0 \]

\[ 25 + 5b + 45 = 0 \]

\[ 5b + 70 = 0 \]

\[ 5b = -70 \]

\[ b = \frac{-70}{5} = -14 \]

Теперь уравнение имеет вид: \( x^2 - 14x + 45 = 0 \).

Для нахождения другого корня можно использовать теорему Виета. Сумма корней \( x_1 + x_2 = -b \), произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = c \).

У нас \( x_1 = 5 \), \( c = 45 \).

Тогда произведение корней: \( 5 \cdot x_2 = 45 \).

\[ x_2 = \frac{45}{5} = 9 \]

Проверим с суммой корней. \( -b = -(-14) = 14 \). \( x_1 + x_2 = 5 + 9 = 14 \). Совпадает.

Ответ: другой корень равен 9, коэффициент b равен -14