№ 12.. Решите систему уравнений: { 3^x + 3^y = 27, x - y = 3, }

Решение:

Из второго уравнения системы выразим \(x\) через \(y\):

\[ x = 3 + y \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ 3^{(3+y)} + 3^y = 27 \]

Используем свойство степеней \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \):

\[ 3^3 \cdot 3^y + 3^y = 27 \]

\[ 27 \cdot 3^y + 3^y = 27 \]

Вынесем \( 3^y \) за скобки:

\[ 3^y (27 + 1) = 27 \]

\[ 3^y \cdot 28 = 27 \]

\[ 3^y = \frac{27}{28} \]

Возьмём логарифм по основанию 3 от обеих частей:

\[ y = \log_3 \left(\frac{27}{28}\right) \]

Используем свойство логарифма \( \log_a (b/c) = \log_a b - \log_a c \):

\[ y = \log_3 27 - \log_3 28 \]

\[ y = 3 - \log_3 28 \]

Теперь найдём \(x\), используя \( x = 3 + y \):

\[ x = 3 + (3 - \log_3 28) \]

\[ x = 6 - \log_3 28 \]

Ответ: \( x = 6 - \log_3 28, y = 3 - \log_3 28 \).