№ 11. Решите уравнение: logₓ₋₁(10 - 5x + x²) = 2.

Решение:

Для решения уравнения логарифма необходимо учесть условия существования:

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: \( x-1 > 0 \) и \( x-1
   e 1 \). Отсюда \( x > 1 \) и \( x
   e 2 \).
2. Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 10 - 5x + x^2 > 0 \).

Перейдём к решению самого уравнения, используя определение логарифма \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \):

\[ (x-1)^2 = 10 - 5x + x^2 \]

Раскроем скобки в левой части:

\[ x^2 - 2x + 1 = 10 - 5x + x^2 \]

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\[ -2x + 1 = 10 - 5x \]

Соберём члены с \(x\) в одной части, а константы — в другой:

\[ 5x - 2x = 10 - 1 \]

\[ 3x = 9 \]

\[ x = \frac{9}{3} \]

\[ x = 3 \]

Проверим найденный корень \(x=3\) на соответствие условиям существования:

1. \( x > 1 \) и \( x
   e 2 \): \( 3 > 1 \) и \( 3
   e 2 \). Условия выполнены.
2. \( 10 - 5x + x^2 > 0 \): \( 10 - 5(3) + 3^2 = 10 - 15 + 9 = -5 + 9 = 4 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: 3.