№ 10. Сколько способами из 25 человек можно выбрать троих дежурных?

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, так как порядок выбора дежурных не имеет значения.

Формула для числа сочетаний из \(n\) по \(k\):

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \(n = 25\) (общее число человек) и \(k = 3\) (количество выбираемых дежурных).

\[ C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} \]

Распишем факториалы:

\[ C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 22!} \]

Сократим \(22!\):

\[ C_{25}^3 = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} \]

Упростим вычисление:

\[ C_{25}^3 = \frac{25 \cdot (24/6) \cdot 23}{1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 \]

\[ C_{25}^3 = 100 \cdot 23 = 2300 \]

Ответ: 2300 способами.