12 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле \( S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \).

В данном случае: \( f(x) = x^2 \), \( g(x) = 0 \) (ось x), \( a = 1 \), \( b = 2 \).

На интервале \( [1, 2] \) функция \( y = x^2 \) неотрицательна, поэтому \( |x^2 - 0| = x^2 \).

Площадь \( S \) вычисляется как:

\( S = \int_{1}^{2} x^2 dx \)

1. Найдем первообразную для \( x^2 \):
   \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \)
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
   \( S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \)
3. Подставим верхний и нижний пределы:
   \( S = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \)

Ответ: \( \frac{7}{3} \)