10 Вычислите \( \int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx \)

Решение:

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции \( x^2 - 6x + 9 \):
   \( \int (x^2 - 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} - 6 \frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \)
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
   \( \int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{-1}^{2} \)
3. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
   \( = \left( \frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} - 3 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) \right) \)
4. \( = \left( \frac{8}{3} - 12 + 18 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 3 - 9 \right) \)
5. \( = \left( \frac{8}{3} + 6 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 12 \right) \)
6. \( = \frac{8}{3} + 6 + \frac{1}{3} + 12 \)
7. \( = \frac{9}{3} + 18 = 3 + 18 = 21 \)

Ответ: 21