12. Найдите точку максимума функции y = x³ + 20x² + 100x + 23.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( y = x^3 + 20x^2 + 100x + 23 \):

\[ y' = (x^3)' + (20x^2)' + (100x)' + (23)' \]

\[ y' = 3x^2 + 40x + 100 \]

2. Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 + 40x + 100 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 · 3 · 100 = 1600 - 1200 = 400 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \]

4. Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 20}{2 · 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 20}{2 · 3} = \frac{-60}{6} = -10 \]

5. Определим, какая из точек является точкой максимума. Для этого проанализируем знаки производной на интервалах, образованных корнями \( -10 \) и \( -\frac{10}{3} \) (приблизительно -3.33).

• Возьмем точку \( x < -10 \), например, \( x = -11 \).

\[ y'(-11) = 3(-11)^2 + 40(-11) + 100 = 3(121) - 440 + 100 = 363 - 440 + 100 = 23 > 0 \]

Следовательно, на интервале \( (-∞; -10) \) функция возрастает.

• Возьмем точку \( -10 < x < -\frac{10}{3} \), например, \( x = -5 \).

\[ y'(-5) = 3(-5)^2 + 40(-5) + 100 = 3(25) - 200 + 100 = 75 - 200 + 100 = -25 < 0 \]

Следовательно, на интервале \( (-10; -\frac{10}{3}) \) функция убывает.

• Возьмем точку \( x > -\frac{10}{3} \), например, \( x = 0 \).

\[ y'(0) = 3(0)^2 + 40(0) + 100 = 100 > 0 \]

Следовательно, на интервале \( (-\frac{10}{3}; ∞) \) функция возрастает.

Точка \( x = -10 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус. Точка \( x = -\frac{10}{3} \) является точкой минимума.

Ответ: -10