12. Найдите точку максимума функции y = x³ + 20x² + 100x + 23.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить знак второй производной или знак первой производной в окрестности найденных точек.

1. Найдем первую производную функции \( y = x^3 + 20x^2 + 100x + 23 \):

\( y' = (x^3)' + (20x^2)' + (100x)' + (23)' \)

\( y' = 3x^2 + 40x + 100 \).

2. Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 + 40x + 100 = 0 \).

3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1600 - 1200 = 400 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{400} = 20 \).

4. Найдем корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \).

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-60}{6} = -10 \).

5. Найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремума:

\( y'' = (3x^2 + 40x + 100)' = 6x + 40 \).

6. Проверим знак второй производной в найденных точках:

При \( x = -10 \):

\( y''(-10) = 6(-10) + 40 = -60 + 40 = -20 \).

Так как \( y''(-10) < 0 \), то в точке \( x = -10 \) находится максимум.

При \( x = -\frac{10}{3} \):

\( y''(-\frac{10}{3}) = 6(-\frac{10}{3}) + 40 = -20 + 40 = 20 \).

Так как \( y''(-\frac{10}{3}) > 0 \), то в точке \( x = -\frac{10}{3} \) находится минимум.

Ответ: -10.