11. На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Касательная — это прямая. Для нахождения её угла наклона найдём две точки, через которые она проходит, чтобы построить прямоугольный треугольник.

На графике касательная проходит через точки:

• \( (-1, 3) \)
• \( (1, -1) \)

Найдем тангенс угла наклона, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\[ m = \tan α = \frac{Δy}{Δx} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\[ m = \frac{-1 - 3}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равно коэффициенту наклона касательной, то есть \( f'(x_0) = m \).

Ответ: -2