7. Решите уравнение logx-7 64 = 2. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение:

По определению логарифма, \( \log_{x-7} 64 = 2 \) означает \( (x-7)^2 = 64 \).

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

\( x^2 - 14x + 49 = 64 \)

\( x^2 - 14x - 15 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ x_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверим область допустимых значений. Основание логарифма \( x-7 \) должно быть положительным и не равным 1. \( x-7 > 0 \) и \( x-7 ≠ 1 \), то есть \( x > 7 \).

Корень \( x_1 = 15 \) удовлетворяет условию \( x > 7 \).

Корень \( x_2 = -1 \) не удовлетворяет условию \( x > 7 \).

Следовательно, уравнение имеет один корень \( x = 15 \).

Ответ: 15