12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = -x⁴ + 8x² - 9

Решение:

1. Найдём производную функции:
2. \( y' = (-x^4 + 8x^2 - 9)' \)
3. \( y' = -4x^3 + 16x \)
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
5. \( -4x^3 + 16x = 0 \)
6. \( -4x(x^2 - 4) = 0 \)
7. \( -4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)
8. Критические точки: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \).
9. Определим знаки производной на интервалах:
10. Интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \), \( (0, 2) \), \( (2, +\infty) \).
11. На \( (-\infty, -2) \) (например, при \( x = -3 \)): \( y' = -4(-3)((-3)^2 - 4) = 12(9 - 4) = 12 · 5 > 0 \). Функция возрастает.
12. На \( (-2, 0) \) (например, при \( x = -1 \)): \( y' = -4(-1)((-1)^2 - 4) = 4(1 - 4) = 4 · (-3) < 0 \). Функция убывает.
13. На \( (0, 2) \) (например, при \( x = 1 \)): \( y' = -4(1)(1^2 - 4) = -4(1 - 4) = -4 · (-3) > 0 \). Функция возрастает.
14. На \( (2, +\infty) \) (например, при \( x = 3 \)): \( y' = -4(3)(3^2 - 4) = -12(9 - 4) = -12 · 5 < 0 \). Функция убывает.
15. Выводы:
16. Промежутки монотонности:
17. Возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).
18. Убывает на \( [-2, 0] \) и \( [2, +\infty) \).
19. Точки экстремума:
20. \( x = -2 \) — точка локального максимума (производная меняет знак с + на -).
21. \( x = 0 \) — точка локального минимума (производная меняет знак с - на +).
22. \( x = 2 \) — точка локального максимума (производная меняет знак с + на -).
23. Найдем значения функции в точках экстремума:
24. \( y(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 9 = -16 + 8(4) - 9 = -16 + 32 - 9 = 7 \).
25. \( y(0) = -(0)^4 + 8(0)^2 - 9 = -9 \).
26. \( y(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 9 = -16 + 8(4) - 9 = -16 + 32 - 9 = 7 \).

Ответ:

Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \), убывает на \( [-2, 0] \) и \( [2, +\infty) \).

Точки экстремума:

Локальный максимум в точке \( x = -2 \) (значение \( y = 7 \)).

Локальный минимум в точке \( x = 0 \) (значение \( y = -9 \)).

Локальный максимум в точке \( x = 2 \) (значение \( y = 7 \)).