10. Решите уравнение: cos² x + sin x * cos x = 0

Решение:

1. Вынесем общий множитель \( \cos x \) за скобки:
2. \( \cos x (\cos x + \sin x) = 0 \)
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
4. Случай 1: \( \cos x = 0 \)
5. Это уравнение имеет решения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.
6. Случай 2: \( \cos x + \sin x = 0 \)
7. Разделим обе части на \( \cos x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), поэтому \( \cos x + \sin x \neq 0 \), значит \( \cos x \neq 0 \) выполняется).
8. \( 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
9. \( 1 + \operatorname{tg} x = 0 \)
10. \( \operatorname{tg} x = -1 \)
11. Это уравнение имеет решения \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \) — целые числа.